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개발 공부 - [동적계획법 (Dynamic Programming)] Dynamic Programming - 5

Longest Common Subsequence




Longest Common Subsequence(LCS)
- <bcdb>는 문자열 <abcbdab>의 subsequence이다.
- <bca>는 문자열 <abcbdab>와 <bdcaba>의 common subsequence 이다.

- Longest common subsequence(LCS)
    common subsequence들 중 가장 긴 것
    <bcba>는 <abcbdab>와 <bdcaba>의 LCS이다



Brute Force
- 문자열 x의 모든 subsequence에 대해서 그것이 y의 subsequence가 되는지 검사한다.
- |x|=m, |y|=n
- x의 subsequence의 개수 = 2m
- 각각이 y의 subsequence인지 검사: O(n)시간
- 시간복잡도 O(n2m)



Optimal Substructure
x             ㅁㅁㅁㅁㅁㅁㅁ[A]ㅁㅁ
                                   ↑
                                   ↓        
               ㅁㅁㅁㅁㅁㅁ[A]
                                   ↑
                                  /
                                ↓     
LCS z       ㅁㅁㅁㅁㅁㅁ[A]ㅁㅁ
ㅁㅁㅁㅁㅁㅁ는 ㅁㅁㅁㅁㅁㅁ와 ㅁㅁㅁㅁㅁㅁㅁ의 LCS이다.




순환식
L[i, j] : 문자열  X =< x1x2 ··· xi >와 Y =< y1y2 ··· yj >의 LCS의 길이

X [x1] [x2] [      ] [      ] [xi-1] [xi]
                                       ↑
                                       ↓
Y [y1] [y2] [y3] [ ] [ ] [ ] [yj-1] [yj]

- 경우 1: xi = yj
    L[i, j] = L[i  1, j  1] + 1



순환식
L[i, j] : 문자열 X =< x1x2 ··· xi >와 Y =< y1y2 ··· yj >의 LCS의 길이

X [x1] [x2] [      ] [      ] [xi-1] [xi]
                                       ↑둘 중 하나는
                                       ↓버려야
Y [y1] [y2] [y3] [ ] [ ] [ ] [yj-1] [yj]

- 경우 2: xi ≠ yj
L[i, j] = max(L[i  1, j], L[i, j  1])









순환식
L[i, j] : 문자열 X =< x1x2 ··· xi >와 Y =< y1y2 ··· yj >의 LCS의 길이


L[i, j] = 0                                         if i = 0 or j = 0;
          L[i  1, j  1] + 1                        if xi = yj ;
          max(L[i  1, j], L[i, j  1])               otherwise.






X = ABCBDAB
Y = BDCABA




동적계획법
int lcs(int m, int n) /* m: length of X, n: length of Y */
{
     for (int i=0; i<=m; i++)
         c[i][0] = 0;
     for (int j=0; j<=n; j++)
         c[0][j] = 0;
     for (int i=0; i<=m; i++) {
         for (int j = 0; j <= n; j++) {
             if (x[i] == y[j])
                 c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
             else    
                 c[i][j] = Math.max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]);
             }
         }
     return c[m][n];
}

시간복잡도: Θ(mn)



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